PARADOJA DE B. RUSSELL

 

 

 

La paradoja de B. Russell ha sido objeto de muchos análisis por matemáticos y filósofos positivistas. Surge en medio de la teoría matemática de conjuntos defendida por Cantor. No conozco ningún análisis que descubra el porqué de tal paradoja. En este análisis de la misma presento presento ese porqué. Su raíz última hay que buscarla en el viejo problema de los universales y también en la teoría del conocimiento que en ella se supone. La paradoja de B. Russell se apoya en una opción empirista y positivista en el problema de los universales y en una visión intencional a la hora de establecer la estructura más radical de nuestro conocimiento.

Cuando un proceso lógico termina en paradojas es que algo falla a lo largo del proceso. Con mucha frecuencia, el origen del fallo está en el punto de partida. Suele estar en los presupuestos, en prejuicios filosóficos o simplemente en una determinada opción entre distintas alternativas.

La paradoja de B. Russell, como la de Hilbert y otras muchas que plantean los matemáticos y lógicos, tienen el mismo origen. En el fondo se trata de un problema de teoría del conocimiento o, más exactamente, de metafísica del conocimiento.

En la realidad de las cosas nunca se dan paradojas. Éstas surgen cuando el hombre hace y combina conceptos sobre esas cosas. Es en el universo de los conceptos (de la teoría) donde hay que buscar la raíz de esas paradojas. Intentaré desvelar la opción empírico-positivista y la teoría del conocimiento que se esconden tras la paradoja, opciones de las que el mismo Russell no era consciente, porque formaban parte de sus prejuicios filosóficos. Esos mismos prejuicios afectaron también a matemáticos y lógicos que la intentaron resolver.

 

Raíz filosófica de la paradoja de B. Russell

La raíz del problema de la paradoja de B. Russell está ya en el problema medieval de los universales. Éste, a su vez, se retrotrae al tema de las Ideas en Platón y su rechazo en la teoría del conocimiento de Aristóteles. El problema de los universales adquiere especial importancia con Guillermo de Ockham (1285-1347)

Este filósofo inglés, siguiendo a G. de Ockham y a D. Hume,  niega que los conceptos universales tengan realidad propia. Son meros nombres con los que nos dirigimos a las cosas. Tampoco es realidad la supuesta esencia común a varias cosas, que dicen representar. Cuando decimos “Antonio es un hombre”, la filosofía clásica aristotélico-tomista dice que “Antonio” es una realidad particular, y que el término “hombre” designa la esencia común a todos los hombres. La palabra “hombre” es una realidad como concepto. La “esencia común” aludida no existe separadamente de los hombres particulares, pero está realmente presente en todos ellos. De hecho utilizamos conceptos universales, que expresan esas esencias, para definir lo que son las cosas particulares.

Por el contrario y según Ockham, la palabra “hombre” es un mero nombre sin fundamento alguno en una supuesta esencia común a todos los hombres. Y es que esa esencia común no existe. No tiene realidad objetiva alguna. Esta doctrina recibe el nombre de nominalismo. Su tesis clave es la negación de las esencias y de la metafísica en general.

Ahora bien, el pensamiento filosófico de Russell (1872-1970) y de otros muchos filósofos de su tiempo sigue la corriente del nominalismo de Ockham. No hay que olvidar que Russell es considerado ante todo como filósofo y que tuvo una gran influencia en la filosofía analítica y positivista de su tiempo.

La paradoja B. Russell

La paradoja expresada como problema del concepto de conjunto

En el planteamiento de la paradoja de B. Russell se parte del supuesto de que existen conjuntos que son miembros de sí mismos. Se pone como un ejemplo entre otros el de un conjunto de ideas abstractas. Y se afirma todo seguido que ese conjunto, por ser él mismo una idea abstracta, hay que sumarlo a las ideas abstractas que contiene como una idea abstracta más y, en ese sentido, es miembro de sí mismo.

La paradoja está en que el conjunto de “ideas abstractas”, a la vez no es miembro de sí mismo, porque tiene como contenido las demás “ideas abstractas”, y es miembro de sí mismo como sujeto, porque él mismo es una idea abstracta, y eso es una contradicción o paradoja. Sólo es miembro de sí mismo, si a la vez no lo es. Es decir, si a la vez está entre los miembros que no son él mismo[1].

Por otra lado, tenemos los casos de conjuntos que no forman parte de sí mismos: un conjunto de libros. El conjunto en sí no es un libro más. Por tanto, ese conjunto no entra como miembro dentro de su propio contenido.

El ejemplo que Russel puso a Frege en 1902 fue el siguiente:

El conjunto de todos los conjuntos que no forman parte de sí mismos, como el del ejemplo anterior de los libros, a la vez forma parte de sí mismo, porque él mismo es un conjunto, y a la vez no forma parte de sí mismo porque él mismo estaría, como conjunto que es, entre los conjuntos que no forman parte de sí mismos. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.

Dicho de otra forma aún: El conjunto-sujeto, que contiene como objeto a los conjuntos que no forman parte de sí mismos, sería a la vez sujeto y objeto de sí mismo. Sólo sería sujeto si a la vez es objeto de sí mismo.

En otra formulación de la paradoja de B. Ruseell  se establecen dos presupuestos:[2]

Primer presuouesto, toda colección de objetos que no sean conjuntos forma un conjunto[3].

(Es decir, se trata de toda colección de objetos particulares y que sean homogéneos bajo algún aspecto. Los objetos particulares por separado nunca son conjuntos)

Segundo presupuesto, que se presenta como evidente, dice:

 Sería ingenuo pensar que cualesquiera objetos forman un conjunto.

La razón es que, para que una colección de objetos formen un conjunto ha de haber entre ellos algún tipo de homogeneidad. Tienen que tener algo en común.

Comentario: “Sería ingenuo” para una mentalidad positivista, que no admite las ideas o conceptos universales como símbolos de las esencias de las cosas. Si sólo existen las cosas particulares como se supone aquí, sí se podría decir que “sería ingenuo”. Pero aquí se parte  a priori de una posición positivista. Como sólo se admite la realidad de las cosas particulares y se niegan los universales, al fin se termina liado con un tema de universales y surge la paradoja. Explicaré más adelante.

Y se da como explicación de esta afirmación la paradoja  de B. Russell, que puede ser formulada de la forma siguiente:

La razón (de lo dicho anteriormente) es más conocida como la paradoja de Russell. Si toda colección de objetos  forma un conjunto, entonces algunos conjuntos –como el conjunto de todos los conjuntos se pertenece a sí mismo, mientras que otros –como el conjunto de páginas de (la revistas) Investigación y Ciencia – no se pertenecen a sí mismos.

Comentario: Ojo al concepto de conjunto de todos los conjuntos. Si desde el punto de vista empirista sólo existen realmente las cosas particulares, entonces, sólo el Universo sería el conjunto de todos los conjuntos, incluidos los conjuntos abstractos de los matemáticos. En el orden de las cosas no hay repetición de elementos. Cada cosa tiene su propia individualidad. Sólo lo números (entes abstractos) se pueden repetir.

Una formulación más abstracta de la paradoja:

Consideremos el conjunto r de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. ¿Se pertenece r a sí mismo? Si lo hace, entonces r debe cumplir la condición necesaria para pertenecer a r: la de no pertenecerse a sí mismo

Si no lo hace, entonces r cumple una condición suficiente para pertenecer a r y por tanto debe pertenecerse a sí mismo. Se sigue entonces que r se pertenece a sí si y sólo si no lo hace, lo cual nos lleva a una contradicción.

La pertenencia es una relación que requiere diferencia y cierta distancia entre el sujeto al que algo pertenece y ese algo mismo. Si se dice que pertenece a sí mismo, entonces se rompe el postulado básico sobre la forma originaria del conocimiento que se supone en todo este proceso lógico: todo conocimiento es siempre un conocimiento de algo distinto al que conoce.

Pero hay paradoja, entre otras razonas, porque se supone la teoría clásica del conocimiento. Ésta sostiene que el acto más originario de conocimiento humano es de carácter intencional: todo acto de conocer es siempre un conocimiento (sujeto) de algo (objeto) distinto del mismo acto de conocimiento. Se trata aquí de determinar cuál es la estructura básica del conocimiento. Según esta teoría, esa estructura es siempre un acto intencional. Un acto que hace referencia a un objeto distinto de él mismo.

Pero hay otra metafísica (la de K. Rahner, por ejemplo), según la cual, el objeto de conocimiento o toma de conciencia más originario es el ser mismo de esa conciencia. Conciencia y objeto de la conciencia se identifican. La conciencia más originaria es auto-conciencia y no conciencia de algo. No hay distancia entre la conciencia y su objeto más originario: su propio ser.

En el planteamiento de la paradoja se supone el caso más originario de conocimiento no es la conciencia de o el conocimiento intencional, sino un conocimiento por identidad. En este caso, el “pertenecerse a sí mismo” de la paradoja forma parte de la identidad originaria de ser y conocer o conciencia originaria del ser propio de ella.

Por otra parte, el acto de auto-conocimiento o auto-conciencia  no es un conocimiento separado de todo otro acto de conocimiento. Se trata de un conocimiento o auto-conciencia concomitante a todo acto concreto de conocimiento intencional. Algo así como cuando decimos que alguien sabe algo y, a la vez, podemos añadir que sabe que sabe algo.

Este auto-conocimiento es el que hace posible todo  conocimiento intencional. Ya desde los griegos se dice que lo primero que conoce nuestro entendimiento es el ser de las cosas. La pregunta primera sobre algo desconocido es qué es esa cosa. No puedo preguntar qué tamaño tiene la Luna, si previamente no sé qué es eso que se llama Luna.

El conocimiento del ser de una cosa precede siempre, ya sea implícita o explícitamente, a cualquier otra pregunta sobre esa cosa.

Pues bien, nuestro entendimiento está predeterminado a preguntar por el ser de cada cosa, porque primero sabe en sí mismo lo que es ser. Ontológicamente primero es conciencia de su propio ser. Eso es lo que le determina a preguntar por el ser de las demás cosas. En él se identifican el conocer y el ser conocido, el sujeto y el objeto del conocimiento.

El punto de partida de la paradoja de Russel queda, pues, en entredicho. Pero vayamos a los términos en que se plantea la paradoja. En ella Russell quiere poner en un mismo nivel conceptual a los conjuntos-parte –conjuntos que son parte de otros conjuntos- y al conjunto universal, que los abarca a todos y que no es parte de otro conjunto superior.

La paradoja surge precisamente de esa equiparación, que esconde también un problema de orden metafísico. Es como si Aristóteles equiparara la naturaleza del Motor Inmóvil con los motores móviles o como si cualquier filósofo pusiera al mismo nivel ontológico el Fundamento Último de todas las cosas y cada una de las cosas fundamentadas. Es lo mismo que si  el teólogo pusiera al mismo nivel ontológico las cosas creadas y su Creador o si en las pruebas de la existencia de Dios se pusiera al mismo nivel a Dios y las cosas de las que se parte para probar su existencia.

Russel incurre en la paradoja precisamente por querer poner al mismo nivel los conjuntos-parte y el conjunto universal de todos los conjuntos. La lógica no puede saltarse la ontología y, si lo hace, entonces vienen las paradojas.

Y es que el conjunto de todos los conjuntos se contiene a sí mismo en primer lugar y, porque se contiene a sí mismo, contiene a los demás, y no al revés como se supone. Dicho de manera más universal, el concepto de todos los conceptos se contiene a sí mismo, porque él mismo es un concepto. De lo contrario, no podría ser un concepto de los demás conceptos. Pero es distinto de todos ellos por su contenido. Es concepto de su propia esencia de concepto, pero no porque sea un concepto más entre los conceptos que recoge en su contenido. Primero es concepto de su propia esencia y, porque es así, es concepto de las esencia de todos los demás conceptos.

Por eso, la identidad trascendental entre el acto de conocer  (el concepto mismo)y la conciencia del ser del mismo acto es la clave de la disolución de la paradoja en cuestión.

Por otra parte, el planteamiento de la paradoja parece suponer que puede haber varios conjuntos que “se pertenecen a sí mismos”. Dice: “Si toda colección de objetos forman un conjunto, entonces algunos (subrayo) conjuntos, como el conjunto de todos los conjuntos, se pertenecen a sí mismos, mientras que otros -como el conjunto de páginas de un libro-  no se pertenecen a sí mismos”. Lo plantea en plural. Sin embargo, el conjunto de todos los conjuntos en sentido radical sólo puede ser uno.

Si el “todo” lo tomamos en sentido relativo, entonces hay infinidad de “todos”. Cada “todo” tiene, a la vez, dos relaciones de pertenencia distintas. Una es la pertenencia interna: la que cada una de sus partes o elementos tiene con él mismo y que en virtud de ella se constituyen como un todo. La otra es la pertenencia de ese todo a un todo superior, que podríamos calificar de externa.

Si el “todo” lo tomamos en sentido absoluto, entonces no tiene plural, porque el todo absoluto sólo puede ser uno. No puede ser, por concepto, parte de otro todo. En nuestro caso, ese todo absoluto es el Universo. Carece de pertenencia externa, a no ser que pensemos en su pertenencia metafísica a un Creador.

Tampoco se puede decir que “se pertenezca a sí mismo” como dice la paradoja. La palabra “pertenencia” indica relación a otro distinto. Decir que “se pertenece a sí mismo” es como considerarlo a la vez idéntico a sí mismo y distinto de sí mismo. Ahí es donde está la verdadera contradicción. La contradicción está en el concepto de pertenencia a sí mismo y no en el proceso lógico de la paradoja. El proceso lógico lleva a la paradoja por causa del mal uso del concepto “pertenencia”.

El concepto de “conjunto ordinario” supone la distinción entre continente y contenido, entre la idea de “conjunto” y los elementos que abarca o contiene. Continente y contenido son realidades distintas. Hay una relación de pertenencia del contenido al continente que los supone como realidades distintas. En este concepto de “conjunto ordinario” no hay problema.

El problema surge cuando se establece el concepto de “conjunto extraordinario”. En este caso no se da la misma relación de pertenencia que en el concepto de “conjunto ordinario”.  No se da la distinción entre continente y contenido. Ambos son ontológicamente idénticos. En realidad, entre uno y otro no se da pertenencia propiamente, sino identidad. La paradoja surge al identificar o confundir ambos tipos de pertenencia.

Dicho de otra manera. Se parte de una noción de conjunto basada en la idea de pertenencia, que distingue o separa continente y contenido, y se aplica al concepto de “conjunto extraordinario” o conjunto que se pertenece a sí mismo. La pertenencia a sí mismo no tiene nada que ver con la pertenencia que se da en el conjunto ordinario entre continente y contenido. En este  planteamiento hay dos tipos de pertenencia. Por una lado, la pertenencia basada en la identidad entre sujeto y objeto. Por otro, la pertenencia basada en la diferencia entre sujeto y objeto. Si se confunden surge la paradoja.

Pongamos un ejemplo. El Universo como un todo que abarca todo lo que existe. Es un conjunto que “no se contiene a sí mismo”, sino que “es sí mismo”. Esto confirma que la paradoja se debe a una confusión de conceptos como ya expliqué. Las matemática y la lógica necesitan de vez en cuando bajar a la realidad de las cosas para deshacer sus entuertos.

Todo conjunto se forma bajo un determinado concepto con el que se unifican todos los miembros del conjunto. Ese concepto abarca menos elementos cuanto menos abstracto sea. Y, viceversa; abarca más, cuanto más abstracto sea, cuanto más simple sea, cuantas menos notas o características recoja.

El conjunto de todos los seres es el más abstracto y universal de todos los conjuntos. Abarca todo lo que existe; incluso, lo que, no existiendo, puede llegar a existir. Se podría pensar el conjunto de todos los entes que existen realmente y el conjunto de todos los entes meramente posibles.

La mente humana trabaja necesariamente bajo la conciencia originaria del ser. En ella se da una identidad originaria entre conciencia y ser, entre ser y ser conocido. Es el acto originario por el que la conciencia se hace consciente de su propio ser consciente. Una especie originaria de autoconciencia.

Esa identidad originaria de ser y conocer constituye la ley gnoseológica metafísica que rige todo el resto del conocimiento humano. Es un conocimiento previo al conocimiento intencional: la conciencia de algo distinto a la misma conciencia. Contra lo que defienden Brentano, Husserl y sus seguidores, la conciencia de sí es previa y condición de posibilidad de la conciencia de algo distinto a sí. El conocimiento intencional, la conciencia de, no es originario, sino derivado de esa identidad originaria de ser y conocer.

Porque la conciencia de sí es conciencia del ser que ella es. Todo otro conocimiento es necesariamente conocimiento del ser de cada cosa conocida. Ese identidad originaria de ser y ser conocido no suele ser temática o tema (objeto) de primera intención. Ordinariamente se tiene como conocimiento con-comitante del conocimiento temático, que es objeto de primera intención.

También la conciencia del ser concreto de cada cosa suele quedar como supuesto oculto en cada conocimiento concreto de nuestra vida cotidiana. No hacemos metafísica del ser de cada cosa ordinariamente; mas bien la suponemos o la hacemos sin darnos cuenta.

Conclusión

Hay que tener en cuenta que el concepto de “conjunto” que maneja Russell y los demás matemáticos conjuntivistas es de carácter cuántico, como no podía ser de otra manera. Sin embargo, también hay que decir que el universo de lo cuántico o de lo medible no es indiscutiblemente autónomo. Siempre supone, al menos implícitamente,  una dimensión metafísica.  Y muchas de las incoherencias y paradojas que surgen en las matemáticas tienen una raíz metafísica, sea de orden ontológico o sea del gnoseológico, que no se tiene en cuenta.

  Resumiendo, la paradoja en cuestión es paradoja porque se apoya en dos supuestos que no son evidentes o indiscutibles. Por un lado, en el presupuesto de la opción empirista en el problema de los universales. Por otro, en el presupuesto de la opción de tomar como caso más originario del conocimiento un acto intencional del mismo, en una visión intencional de la estructura originaria del conocimiento.

Cinco tesis para terminar:

• En el mundo de las cosas reales de nuestro mundo en torno no existen las conjuntos infinitos actuales, como sostiene Cantor.
• En el universo de los conjuntos abstractos (numéricos). Sólo existe el infinito potencial.
• El infinito actual de cosas materiales y finitas es un contrasentido, que desautoriza el canto conjuntivista de Cantor. Decir conjunto ya es decir una realidad acotada conceptualmente. Si es acotada, no puede ser infinita, aunque no se pueda ponerle un límite insuperable.
• Decir que hay conjuntos infinitos es una contradicción. Son imposibles por concepto.
• El infinito actual sólo es aplicable a un ser trascendente al mundo material y finito.INFINITO, MATEMÁTICAS Y DIOS
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[1] Según el nominalismo, la idea abstracta es un mero nombre, que no se corresponde con ninguna realidad empírica. Entonces, la idea abstracta de todas las ideas abstractas es un mero juego de palabras o nombres vacíos. En este sentido, la paradoja tiene poco interés práctico.

[2] Formulación de G. Uzquiano en la revista Investigación y Ciencia, 2010.

[3] Tal vez convenga tener en cuenta que en el orden de las cosas reales (no meramente mentales) cualquier colección de objetos puede formar un conjunto. Todo depende de bajo qué aspecto se considere a esos objetos. Un elefante, una hormiga, una flor y una estrella pueden considerarse un conjunto, si los consideramos bajo el aspecto de cosas heterogéneas. Formarían un conjunto de cosas heterogéneas, que lo podríamos distinguir de los conjuntos de cosas más o menos homogéneas.

La formación de conjuntos es un acto de nuestro conocimiento y también de nuestra voluntad. Tiene algo de caprichosa.

Además, esa cosas heterogéneas son homogéneas, si las consideramos bajo el aspecto de ser. Todas son seres. En este sentido, todo el universo de las cosas existente forman un conjunto, que sería el conjunto universal de todos los conjuntos.

Si se tomara como punto de partida esta visión mucho más abierta de conjunto, habría que ver hacia qué matemáticas nos llevaría. Pero esta noción de conjunto no sirve para la matemática de conjuntos tal como está desarrollada. Y es que rompe el encorsetamiento del concepto matemático de conjunto.

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí.  Por un lado, se dice que los conjuntos son colecciones abstractas de objetos. Por otro, en el desarrollo de la teoría se utilizan con frecuencia colecciones de objetos reales como ejemplos: los colores de una bandera concreta, las hojas de un libro, una colección de libros, etc.. Para que una colección de objetos sea un conjunto han de tener algo en común, que los hace pertenecer a una misma colección o grupo. Además, ningún elemento ha de estar repetido  como idéntico a otro del mismo grupo.

El grupo ha de constituir un objeto en sí, dicen los matemáticos. Decir “objeto en sí” parece abarcar tanto conjuntos de cosas reales de nuestro mundo en torno como objetos abstractos: conjuntos de tipos distintos de números o de figuras geométricas.